题目内容
已知命题p：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，
+
=3；命题q：?x∈R，x2-x+1≥0恒成立．则命题?p且q是
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
真
真
命题（填“真”或“假”）．分析：对于命题p，可以利用基本不等式求出当正数a、b满足a+b=1时，
+
的最小值为4，从而
+
=3不能成立，得到p是假命题；再看命题q，通过配方可得x2-x+1的最小值为
，从而不等式x2-x+1≥0恒成立，得到命题q是真命题．由此不难得出正确结论．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 3 |
| 4 |
解答：解：先看命题p：
∵a，b∈（0，+∞），且a+b=1
∴
+
=(a+b)(
+
)=2+
+
而
+
≥2
=2，当且仅当正数a=b时取值等号
∴
+
的最小值为4，
说明命题p：：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，
+
=3是错误的；
再看命题q：
∵x2-x+1=(x-
) 2 +
≥
，当且仅当x=
时取值等号
∴命题q：?x∈R，x2-x+1≥0恒成立，是真命题．
∵p是假命题，说明?p是真命题，并且q是真命题
∴?p且q是真命题
故答案为：真
∵a，b∈（0，+∞），且a+b=1
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
而
| b |
| a |
| a |
| b |
|
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
说明命题p：：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
再看命题q：
∵x2-x+1=(x-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴命题q：?x∈R，x2-x+1≥0恒成立，是真命题．
∵p是假命题，说明?p是真命题，并且q是真命题
∴?p且q是真命题
故答案为：真
点评：本题以不等式恒成立和函数的值域为载体，考查了复合命题真假的判断，属于中档题．
练习册系列答案
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+
=3；命题Q：?x∈R，x2-x+1≥0恒成立，则下列命题是假命题的是（ ）
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| A、非P∨非Q | B、非P∧非Q |
| C、非P∨Q | D、非P∧Q |