题目内容

设函数f（x）=x- $数学公式$ -alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
当a=3时，f′（x）=1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
令f′（x）=0，解得x=1或x=2，
当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
所以当x=1时f（x）取得极大值f（1）=-1，当x=2时f（x）取得极小值f（2）=1-3ln2；
（Ⅱ）f′（x）=1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
令g（x）=x²-ax+2，其判别式△=a²-8，
①当|a| $\text{[math]}$ 时，△≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜-2 $\text{[math]}$ 时，△＞0时，g（x）=0的两根都小于0，所以在（0，+∞）上f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞2 $\text{[math]}$ 时，△＞0，g（x）=0的两根为：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，且都大于0，
当0＜x＜x₁或x＞x₂时f′（x）＞0，当x₁＜x＜x₂时f′（x）＜0，
故f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）和（ $\text{[math]}$ ，+∞）上递增，在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上递减，
综上，当a $\text{[math]}$ 时f（x）（0，+∞）上单调递增；当a＞ $\text{[math]}$ 时，f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）和（ $\text{[math]}$ ，+∞）上递增，在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上递减；
分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，当a=3时在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）f′（x）= $\text{[math]}$ ，令g（x）=x²-ax+2，其判别式△=a²-8，按△≤0时，△＞0时两种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，△＞0时再按根与0的大小讨论，即共分三种情况进行讨论解不等式即可；
点评：本题考查利用导数研究函数的极值、函数的单调性，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．