Question

已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，右准线与一条渐近线的交点坐标为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F的直线l（不与x轴重合）与双曲线C交于M，N两点，且直线AM、AN分别交双曲线C的右准线于P、Q两点，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）双曲线C的右准线为，渐近线为．再由右准线与一条渐近线的交点坐标为，解得a²=4，b²=5，c²=9．由此能求出双曲线C的方程． 
（Ⅱ）由点F，A的坐标分别为（3，0），（-2，0），右准线为．知当直线l斜率不存在时，点M，N的坐标分别为，则直线AM，AN方程分别为，．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3）（k≠0），由得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．由此入手也能推导出=．由此能够证明为定值．
解答：（Ⅰ）解：双曲线C的右准线为，渐近线为．
因为右准线与一条渐近线的交点坐标为，
所以，
解得a²=4，b²=5，c²=9．
于是，双曲线C的方程为．            …（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知点F，A的坐标分别为（3，0），（-2，0），右准线为．
当直线l斜率不存在时，点M，N的坐标分别为，
则直线AM，AN方程分别为，
令，得P，Q的坐标分别为，
此时．
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k（x-3）（k≠0），
由，
得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．
因为直线l与双曲线C交于M，N两点，
所以4k²-5≠0，△=24²k⁴-4（4k²-5）（36k²+20）=400（k²+1）＞0，
解得．
设M，N两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
则直线AM，AN方程分别为，
令，得P，Q的坐标分别为，
所以
=
=
=．
所以，为定值．                 …（13分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，难度大，是高考的重点，易出错．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．