Question

已知函数f（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞）．
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=

1

2

时，f（x）=x²+2x+a为具体函数，比较对称轴和区间端点的大小，求得函数f（x）的最小值
（2）对称轴和闭区间都是固定的，就转化为求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值大于0的问题，可求a的取值范围

解答：解：（1）a=

1

2

时，f（x）=x²+2x+

1

2

，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=-1，
又∵x∈[1，+∞），
∴f（x）的最小值是f（1）=

7

2

．
（2）由（1）知f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=a+3．
∵f（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，
故只需a+3＞0即可，解得a＞-3．
∴实数a的取值范围是a＞-3．

点评：本题的第二问实质是求二次函数的最值问题，关于给定解析式的二次函数在不固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论