Question

若a_n是（1+x）ⁿ⁺¹（n∈N^*）展开式中含x²项的系数，则

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）=（　　）

• A、2
• B、1
• C、

  1

  2

• D、0

Answer 1

分析：

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）=

lim

n→∞

(

2

2×1

+

2

3×2

+

2

4×3

+…+

2

(n+1)×n

)=2

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)，然后利用极限的运算公式进行计算．

解答：解：∵a₁=C₂²=1，a2=

C

2 3

=

3×2

2×1

=3，a3=

C

2 4

=

4×3

2×1

=6，…，an=

C

2 n+1

=

(n+1)n

2×1

，
∴

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）=

lim

n→∞

(

2

2×1

+

2

3×2

+

2

4×3

+…+

2

(n+1)×n

)
=2

lim

n→∞

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)
=2

lim

n→∞

n

n+1

=2．
故选A．

点评：本题考查极限的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．