Question

已知f（x）=acos（2x-

π

3

）+b（a，b为常数，a，b∈R）的定义域为[0，

π

2

]，值域为[

1

2

，5]．
（1）求a，b值；
（2）若f（x）在[0，

π

6

]上递增，设g（x）=asin（bx-

π

4

），x∈R，画出函数g（x）在一周期上图象，并写出单调区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的定义域和值域的关系确定，a，b的值．
（2）利用f（x）在[0，

π

6

]上递增，确定a，b的值，然后利用五点法或函数的平移关系画出函数g（x）在一周期上图象即可．

解答：解：（1）由x∈[0，

π

2

]，得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴cos(2x-

π

3

)∈[-

1

2

，1]   由题意a=0，不合适．
当a＞0时，fmax(x)=a+b，fmin(x)=-

1

2

a+b，即

a+b=5 - 1 2 a+b= 1 2

，解得a=3，b=2．
当a＜0时，fmin(x)=a+b，fmax(x)=-

1

2

a+b，即

a+b= 1 2 - 1 2 a+b=5

，解得a=-3，b=

7

2

，
综合得a=3，b=2或a=-3，b=

7

2

．…（8分）
（2）由f（x）在[0，

π

6

]上递增，
∴a=3，b=2，
∴g（x）=3sin（2x-

π

4

），
五点法作出g（x）一个周期图象如图：…（12分）
g（x）单调增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z，
减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z   …（16分）

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质的应用．