题目内容

设a为实数，函数f（x）=x|x2-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．
分析：（1）当a=1时，由x∈[-1，1]，知f（x）=-x3+x，故f′（x）=-3x2+1=-3（x-
3
3
）（x+
3
3
），令f′（x）=0，得x=
3
3
，x=-
3
3
，由此能求出函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值、最大值．
（2）当a=0时，f（x）=x3，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；当a＜0时，f（x）=x3-ax，由f′（x）=3x2-a＞0恒成立，知f（x）的增区间为（-∞，+∞）．当a＞0时，x≥
a
或x≤-
a
时，f′（x）=3x2-a=3（x+
a
3
）（x-
a
3
），-
a
3
＞-
a
，
a
3
＜
a
，f（x）的单调减区间为(-∞，-
a
)及(
a
，+∞)．当-
a
＜x＜
a
时，f′（x）=-3x2+a=-3(x+
a
3
)(x-
a
3
)，f（x）的单调增区间为（-
a
3
，
a
3
），f（x）的单调减区间为(-
a
，-
a
3
)，(
a
3
，
a
)．由此能求出函数f（x）的单调区间．
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x|x2-1|．
∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x3+x，
则f′（x）=-3x2+1=-3（x-
3
3
）（x+
3
3
），
令f′（x）=0，得x=
3
3
，x=-
3
3
，
∵±
3
3
∈[-1，1]，
f（-1）=1-1=0，
f（-
3
3
）=-（-
3
3
）3-
3
3
=-
2
3
9
，
f（
3
3
）=(
3
3
)3-
3
3
=
2
3
9
，
f（1）=-1+1=0，
∴函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值为-
2
3
9
，最大值为
2
3
9
．
（2）（i）当a=0时，f（x）=x3，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
（ii）当a＜0时，f（x）=x3-ax，
∵f′（x）=3x2-a＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）．
（iii）当a＞0时，①当x≥
a
或x≤-
a
时，f（x）=x3-ax，
因为f′（x）=3x2-a=3（x+
a
3
）（x-
a
3
），-
a
3
＞-
a
，
a
3
＜
a
，
所以，当x≤-
a
或x≥
a
时，f′（x）＞0，
从而f（x）的单调增区间为(-∞，-
a
)及(
a
，+∞)．
②当-
a
＜x＜
a
时，f（x）=-x3+ax，
f′（x）=-3x2+a=-3(x+
a
3
)(x-
a
3
)，
令f′（x）=0，得x=
a
3
，x=-
a
3
，
列表，得
 x  （-
a
，-
a
3
）		 -
a
3
  
（-
a
3
，
a
3
）		  
a
3
  （
a
3
，
a
）
 f′（x） - 0  + 0  -
 f（x） ↓  极小值 ↑  极大值 ↓
∴f（x）的单调增区间为（-
a
3
，
a
3
），f（x）的单调减区间为(-
a
，-
a
3
)，(
a
3
，
a
)．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为(-∞，-
a
)，(
a
，+∞)及(-
a
3
，
a
3
)，
f（x）的单调减区间为(-
a
，-
a
3
)，(
a
3
，
a
)．
点评：本题考查闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类讨论时因分类不清容易出错．解题时要认真审题，仔细解答．
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．

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