题目内容
已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=kx+b与C交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）当k=1，且直线l过抛物线C的焦点时，求|AB|的值；
（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求k，b之间满足的关系式，并证明直线l过定点．
（1）当k=1，且直线l过抛物线C的焦点时，求|AB|的值；
（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求k，b之间满足的关系式，并证明直线l过定点．
（1）抛物线C：y2=4x的焦点为（1，0）
由已知l：y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，消y得x2-6x+1=0，
所以x1+x2=6，x1x2=1
|AB|=
=
=
=8
（2）联立
，消x得ky2-4y+4b=0（*）（依题意k≠0）
y1+y2=
，y1y2=
，
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，
则α+β=45°，tan（α+β）=tan45°，
=1
其中k1=
=
，k2=
，
代入上式整理得y1y2-16=4（y1+y2）
所以
-16=
，即b=4k+4，
此时，使（*）式有解的k，b有无数组
直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得k（x+4）=y-4
消去
，即
时k（x+4）=y-4恒成立，
所以直线l过定点（-4，4）
由已知l：y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
|
所以x1+x2=6，x1x2=1
|AB|=
| (x2-x1)2+(y2-y1)2 |
| 2 |
| (x2-x1)2 |
| 2 |
| (x2+x1)2-4x1x2 |
（2）联立
|
y1+y2=
| 4 |
| k |
| 4b |
| k |
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，
则α+β=45°，tan（α+β）=tan45°，
| k1+k2 |
| 1-k1k2 |
其中k1=
| y1 |
| x1 |
| 4 |
| y1 |
| 4 |
| y2 |
代入上式整理得y1y2-16=4（y1+y2）
所以
| 4b |
| k |
| 16 |
| k |
此时，使（*）式有解的k，b有无数组
直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得k（x+4）=y-4
消去
|
|
所以直线l过定点（-4，4）
练习册系列答案
相关题目
如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．