Question

【题目】设函数．

（1）求的单调区间；

（2）设，且有两个极值点其中，求的最小值；

（3）证明：＞（n∈N*，n≥2）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）证明详见解析.

【解析】

（1）求函数的定义域和导数，讨论的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

（2）求出函数的表达式，求出函数的导数，令，得，其两根为，且，所以

所以设，求导研究单调性求最值.

（3）因为，所以要证，令，则

，即证

，由（1）知易证明成立.

（1）的定义域为.

①当时，恒成立，在定义域上单调递增；

②当时，令得，

（ⅰ）当时，即时，恒成立，

所以在定义域上单调递增；

（ⅱ）当时，即时，的两根为或，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

综上，当，在定义域上单调递增，无递减区间；

当时，的递增区间为，，

递减区间为

（2）（2）的定义域为，

令，得，其两根为，且，所以

所以

.

设，

则，

因为，

当时，恒有，当时，恒有，

总之，时，恒有，所以在上单调递减，

所以，所以.

（3）因为，

所以要证

即证明，，

令，

则，即证，

由（1）知，时，在 单调递增，所以，

所以.