Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出a_n关于n的表达式；
（2）若数列前n项和为T_n，问满足的最小正整数n是多少？．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1求得a_n-a_n-1=2，进而可推断数列{a_n}是等差数列，公差为2．a₁=S₁为求得a₁，最后根据等差数列的通项公式求得a_n．
（2）把（1）中求得a_n代入T_n中，利用裂项法进行求和，最后根据确定n的范围．
解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），得a_n-a_n-1=2（n=2，3，4，）．
所以数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列．
所以a_n=2n-1．
（Ⅱ）====
由，得，满足的最小正整数为12．
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和．