Question

设a_n是等差数列，b_n是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃+b₂=7．
（1）求a_n，b_n的通项公式；
（2）记c_n=a_n-2010，n∈N*，A_n为数列c_n的前n项和，当n为多少时A_n取得最大值或最小值？
（3）求数列{

an

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先设公差是d，公比是q，根据a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃+b₂=7，列出关于d、q的方程组，解出d、q即可求出求a_n，b_n的通项公式；
（2）当c_n≥0，求出n≥1005.5，当c_n＞0，n≥1006，进而可知当n=1005时，A_n取得最小值；
（3）先写出通项公式，然后求出2S_n-S_n，即可求出S_n．

解答：解：（1）设a_n的公差为d，b_n的公比为q，则依题意有q＞0且

1+d+q2=7 1+2d+q=7

解得d=2，q=2．（2分）
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．（4分）
（2）因为c_n=a_n-2010=2n-2011≥0?n≥1005.5，
所以，当1≤n≤1005时，c_n＜0，当n≥1006时，c_n＞0．（6分）
所以当n=1005时，A_n取得最小值．（7分）
（3）

an

bn

=

2n-1

2n-1

．Sn=1+

3

21

+

5

22

++

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

①（9分）2Sn=2+3+

5

2

++

2n-3

2n-3

+

2n-1

2n-2

②
②-①得Sn=2+2+

2

2

+

2

22

++

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=2+2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

．（12分）

点评：本题主要考查了数列通项公式和前n项和的求法以及数列的最值问题，对于等差数列和等比数列相乘形式数列，一般采取错位相减的办法求数列的前n项和，一定要熟练掌握．