题目内容

已知f（x）=sinxcosx- $数学公式$ ，x∈[0，π]，函数g（x）=f（x）-m有两个不相等的零点．
（1）求m的取值范围；
（2）求函数g（x）的两零点之和．

解：（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．又x∈[0，π]，故 $\text{[math]}$ ．
在同一坐标系中，作出函数y=sinu $\text{[math]}$ 的图象和直线y=m的图象．如图易知，
两图象有两个公共点时，m的取值范围为 $\text{[math]}$ ∪ $\text{[math]}$ ．
又由于 $\text{[math]}$ 是单调函数，x与u是一一对应，故上述范围即为所求．

（2）由图知，直线y= $\text{[math]}$ 分函数y=sinu $\text{[math]}$ 图象成上下两部分，上、下两部分的图象分别关于直线u= $\text{[math]}$
与u= $\text{[math]}$ 对称，故函数g（x）的两零点之和须分两种情况讨论求解，即分 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时，函数y=sinu $\text{[math]}$ 的图象为直线y= $\text{[math]}$ 的上面部分，它关于直线u= $\text{[math]}$ 对称，
于是sinu=m的两根之和为：u₁+u₂=2× $\text{[math]}$ =π，从而函数g（x）的两零点之和为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，函数y=sinu $\text{[math]}$ 的图象为直线y= $\text{[math]}$ 的下面部分，它关于直线u= $\text{[math]}$ 对称，
于是sinu=m的两根之和为：u₁+u₂=2× $\text{[math]}$ =3π，从而函数g（x）的两零点之和为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
综上所述，函数两零点之和为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）化简 f（x）= $\text{[math]}$ ，在同一坐标系中，作出函数y=sinu $\text{[math]}$ 的图象和直线y=m的图象，
如图易知，满足条件的 m的取值范围为 $\text{[math]}$ ∪ $\text{[math]}$ ．
（2）当 $\text{[math]}$ 时，函数y=sinu $\text{[math]}$ 的图象关于直线u= $\text{[math]}$ 对称，g（x）的两零点之和为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，函数y=sinu $\text{[math]}$ 的图象关于直线u= $\text{[math]}$ 对称，
函数g（x）的两零点之和为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，对称性，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中，作出函数y=sinu $\text{[math]}$ 的图象和直线y=m的图象，是解题的关键．