Question

【题目】设函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）求整数 的值，使函数 在区间 上有零点．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

∴ ，∴所求切线方程为 ，即

（Ⅱ）∵ ，对 恒成立，∴ ，

设 ，令 ，得 ，令 得 ，

∴ 在 上递减，在 上递增，

∴ ，∴

（Ⅲ）令 得 ，当 时， ，

∴ 的零点在 上，

令 得 或 ，∴ 在 上递增，又 在 上递减，

∴方程 仅有一解 ，且 ，

∵ ，

∴由零点存在的条件可得 ，∴

【解析】(1)首先对原函数求导，即可求出在点 ( 1 , e ) 处的切线斜率，再代入点的坐标即可求出切线的方程。(2)通过构造函数并结合导数与函数的单调性即可求解。(3)结合导数与函数的单调性判断出F ( x ) 在( 0 , + ∞ ) 上递增，且F ( 1 ) >0，F() < 0，可知 F ( x ) 的零点属于区间( , 1 )。