Question

（2013•延庆县一模）已知函数f(x)=-2a2lnx+

1

2

x2+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：可得函数的定义域和导函数，（Ⅰ）代入a=1可得f（1），和f'（1），进而可得切线方程；（Ⅱ）可得导函数为f′(x)=

(x+2a)(x-a)

x

，分a=0和a＞0即a＜0三类分别求得导数的正负情况，进而可得单调性．

解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=-

2a2

x

+x+a．…（2分）
（Ⅰ） 当a=1时，f(1)=

3

2

，f'（1）=-2+1+1=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）f′(x)=

x2+ax-2a2

x

=

(x+2a)(x-a)

x

，…（6分）
（1）当a=0时，f'（x）=x＞0，f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增，…（7分）
（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-2a（舍去），x₂=a，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增；  …（10分）
（3）当a＜0时，令f'（x）=0，得x₁=-2a，x₂=a（舍去），
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

此时，f（x）在区间（0，-2a）单调递减，在区间（-2a，+∞）上单调递增．…（13分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及切线方程的求解，属中档题．