Question

某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨，二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨，二级子棉2吨；每吨甲种棉纱的利润是600元，每吨乙种棉纱的利润是900元；工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨，二级子棉不超过250吨．问甲、乙两种棉纱各生产多少吨，才能使利润总额最大？并求最大利润总额．

Answer 1

分析：先设设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=600x+900y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．

解答：解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，
那么

2x+y≤300 x+2y≤250 x≥0 y≥0

z=600x+900y．（3分）
作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域．（6分）
作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0，把直线l向右上方平移至l₁的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．
解方程组

2x+y=300 x+2y=250

，解得M的坐标为（

350

3

，

200

3

）．（10分）
因此，当x=

350

3

，y=

200

3

时，z取得最大值．此时zmax=600×

350

3

+900×

200

3

=130000．
答：应生产甲种棉纱

350

3

吨，乙种棉纱

200

3

吨，能使利润总额达到最大，最大利润总额为13万元．

点评：本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．