Question

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为

x=sinα y=2cos2α-2

（α为参数），曲线D的极坐标方程为ρsin（θ-

π

4

）=-

3 2

2

．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）判断曲线C与曲线D的交点个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化余弦为正弦，利用代入法消掉正弦得答案；
（Ⅱ）化极坐标方程为直角坐标方程，联立两曲线方程后求解，由方程组的解判断两曲线的交点个数．

解答：解：（Ⅰ）由

x=sinα y=2cos2α-2

，得

x=sinα y=-2sin2α

，
消去参数α，得x2=-

y

2

，  x∈[-1，1]，
∴曲线C的普通方程为x2=-

y

2

，  x∈[-1，1]；
（Ⅱ）由ρsin(θ-

π

4

)=-

3 2

2

，得
ρsinθcos

π

4

-ρcosθsin

π

4

=-

3 2

2

，即

2

2

ρsinθ-

2

2

ρcosθ=-

3 2

2

．
化简得，x-y-3=0．
∴曲线D的直角坐标方程为x-y-3=0．
由

x-y-3=0 x2=- y 2

，消去y，得2x²+x-3=0，
解得x=-

3

2

（舍）或x=1．
故曲线C与曲线D只有一个交点．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，训练了联立方程组判断直线与圆锥曲线的关系，是基础题．