题目内容

已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；
（3）若y=k+ $数学公式$ 是闭函数，求实数k的取值范围．

解：（1）∵y=-x³在R上单减，所以区间[a，b]满足 $\text{[math]}$
解得a=-1，b=1
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
∴lgx=-x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=-x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数
（3）易知y=k+ $\text{[math]}$ 在[-2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组
$\text{[math]}$ 有解，方程x=k+ $\text{[math]}$ 至少有两个不同的解
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有两个都不小于k的不根．
∴ $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，即所求．
另解：（1）易知函数f（x）=-x³是减函数，则有 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
∴lgx=-x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=-x只有一个根
所以，函数y=2x+lgx是不是闭函
（3）由函数f（x）=k+ $\text{[math]}$ 是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，令k+ $\text{[math]}$ ，则有
k=x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（令t= $\text{[math]}$ ），如图
则直线若有两个交点，则有k $\text{[math]}$
分析：（1）由y=-x³在R上单减，可得 $\text{[math]}$ ，可求a，b
（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，结合对数函数的单调性可判断
（3）易知y=k+ $\text{[math]}$ 在[-2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组 $\text{[math]}$ 有解，方程x=k+ $\text{[math]}$ 至少有两个不同的解，即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围
另解：（1）易知函数f（x）=-x³是减函数，则有 $\text{[math]}$ ，可求
（2）取特值说明即可，不是闭函数．
（3）由函数f（x）=k+ $\text{[math]}$ 是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的图象可求
点评：本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思想．