题目内容

一次研究性课堂上，老师给出了函数 $数学公式$ ，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则 $数学公式$ 对任意n∈N*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的个数是

A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个

D
分析：由已知中函数的解析式，我们可以判断出函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，进而分类讨论后求出函数f（x）的值域，进而可以判断出①的真假；判断出函数的单调性，根据函数单调性的性质，可以判断②的真假；利用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 对任意n∈N*是否恒成立，可以判断③的真假，进而得到答案．
解答：∵f（-x）-f（x）
∴f（x）为奇函数
∵ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∵f（x）为奇函数，
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）
总之，f（x）∈（-1，1）
故甲对
当 $\text{[math]}$ 为增函数，
∵f（x）为奇函数
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）为增函数
所以f（x）在（-1，1）上为增函数
故当x₁≠x₂时，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
故乙对
若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
则当n=1时， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$
设n=k时，满足 $\text{[math]}$
当n=k+1时，f_K+1（x）=f（f_K（x））= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ 对任意n∈N*恒成立
故丙对
故选D
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数恒成立问题，数学归纳法，函数奇偶性，函数的单调性，函数的值域，是函数问题比较综合的应用，其中判断出函数的奇偶性，进而简化判断是解答本题的关键．

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一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=

(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；
乙：若x₁≠x₂则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
丙：若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f₁（x）），则f_n（x）=

，对任意的n∈N^*恒成立
你认为上述三个命题中正确的个数有（　　）

一次研究性课堂上，老师给出了函数f(x)=

(x∈R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则fn(x)=

对任意n∈N*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的个数是（　　）

一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=

(x∈R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别依次对应给出下列命题
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f （x₁）≠f （x₂）；
③若规定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，则 fn(x)=

对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的题号是

一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=

(x∈R)，三位同学在研究此函数时给出以下命题：
①函数f（x）的值域为[-1，1]；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③对任意的x₁，x₂∈R，存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
④若规定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，则 fn(x)=

对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述命题中正确的是

．（请将正确命题的序号都填上）

一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=

(x∈R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
①函数f（x）的值域为(-

)；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③若规定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，则 fn(x)=

对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的是