题目内容
已知A（-2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足|
|=2，
=
(
+
)．
（1）求点D的轨迹方程；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为
，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．
| AC |
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
（1）求点D的轨迹方程；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为
| 4 |
| 5 |
（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），
则
=(x0+2，y0），
=(4，0)，
则
+
=(x0+6，y0)，
故
=
(
+
)=(
+3，
)．
又
代入|
|=
=2中，整理得x2+y2=1，
即为所求点D的轨迹方程．
（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），①
又设椭圆方程为
+
=1，②
因为直线l：kx-y+2k=0与圆x2+y2=1相切．
故
=1，
解得k2=
．将①代入②整理得，（a2k2+a2-4）x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0，③
将k2=
代入上式，
整理得(a2-3)x2+a2x-
a4+4a2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
，
由题意有，求得．
经检验，此时③的判别式
故所求的椭圆方程为
+
=1．
则
| AC |
| AB |
则
| AB |
| AC |
故
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| x0 |
| 2 |
| y0 |
| 2 |
又
|
代入|
| AC |
(x0+2)2+
|
即为所求点D的轨迹方程．
（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），①
又设椭圆方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
因为直线l：kx-y+2k=0与圆x2+y2=1相切．
故
| |2k| | ||
|
解得k2=
| 1 |
| 3 |
将k2=
| 1 |
| 3 |
整理得(a2-3)x2+a2x-
| 3 |
| 4 |
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-
| a2 |
| a2-3 |
由题意有，求得．
经检验，此时③的判别式
故所求的椭圆方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
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