Question

12．已知函数f（x）=x²-4ax+2a+6（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间[-2，3]上是单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的值域为非负数，求函数g（a）=2-a|a+3|的最值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象与性质，得出对称轴在区间[-2，3]外部，由此列出不等式，求出a的取值范围；
（2）根据题意f（x）≥0恒成立，利用△≤0求出a的取值范围，再化简函数g（a），求出它在闭区间上的最值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-4ax+2a+6（a∈R），
其图象是抛物线，对称轴是x=2a；
∴当2a≤-2，或2a≥3，
即a≤-1，或a≥$\frac{3}{2}$时，函数f（x）在区间[-2，3]上是单调函数，
∴a的取值范围是{a|a≤-1，或a≥$\frac{3}{2}$}；
（2）当函数f（x）的值域为非负数时，f（x）≥0恒成立；
∴△≤0，即16a²-4（2a+6）≤0，
化简得2a²-a-3≤0，
解得-1≤a≤$\frac{3}{2}$；
∴函数g（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=-a²-3a+2，
其对称轴为a=-$\frac{3}{2}$；
∴函数g（a）在[-1，$\frac{3}{2}$]上是单调减函数，
其最大值为g（-1）_max=-1+3+2=4，
最小值为${g（\frac{3}{2}）}_{min}$=-$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{2}$+2=-$\frac{19}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，
是综合性题目．