Question

（1）直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A，求实数b的值，及点A的坐标．
（2）在抛物线y=4x²上求一点，使这点到直线y=4x-5的距离最短．

Answer 1

分析：（1）直线方程与抛物线方程联立，利用△=0，即可求实数b的值，及点A的坐标．
（2）设抛物线y=4x²上一点的坐标，求出这点到直线y=4x-5的距离，利用配方法可求最短距离，即可得出结论．

解答：解：（1）由

y=x+b x2=4y

得x²-4x-4b=0①． 
因为直线l与抛物线C相切，所以△=16+16b=0，解得b=-1；
代入方程①即为x²-4x+4=0，解得x=2，所以y=1，
故点A（2，1）．
（2）设点P（t，4t²），距离为d，
则d=

|4t-4t2-5|

17

=

|4(t- 1 2 )2+4|

17

当t=

1

2

时，d取得最小值，此时P（

1

2

，1）为所求的点．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．