Question

在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（I）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．

Answer 1

分析：方法一（I）说明△ACB是等腰三角形即可说明CM⊥AB，然后推出结论．
（II）过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，连接MF，MD．
∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角，解三角形即可，
方法二建立空间直角坐标系，
（I）证明垂直写出相关向量CM和向量EM，求其数量积等于0即可证明CM⊥EM．
（II）求CM与平面CDE所成的角，写出向量CM，以及平面的法向量，
利用数量积公式即可解答．

解答：解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，
连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA=a，
在直角梯形ABDE中，AB=2

2

a，M是AB的中点，
所以DE=3a，EM=

3

a，MD=

6

a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以MF=

EM•MD

DE

=

2

a．
在Rt△CMF中，tan∠FCM=

MF

MC

=1，
所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．

方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）证明：因为

EM

=(-a，a，-a)，

CM

=(a，a，0)，
所以

EM

•

CM

=0，故EM⊥CM．

（II）解：设向量n=（1，y₀，z₀）与平面CDE垂直，则n⊥

CE

，n⊥

CD

，
即n•

CE

=0，n•

CD

=0．
因为

CE

=(2a，0，a)，

CD

=(0，2a，2a)，
所以y₀=2，x₀=-2，
cos?n，

CM

＞=

CM •n

| CM |•|n|

=

2

2

，
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与

CM

夹角的余角，
所以θ=45°，
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．

点评：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，
同时考查空间想象能力和推理运算能力．利用空间直角坐标系解答时，注意计算的准确性．