Question

14．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0：②对于定义域上任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则称f（x）为“理想函数“．给出下列四个当中：①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=x²；③f（x）=x³；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}}&{x≥0}\\{{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}$，能称为“理想函数”的有④（填相应的序号）．

Answer 1

分析 由题意得理想函数既是奇函数，又是减函数，由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，
②对于定义域上任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则称f（x）为“理想函数”．
∴理想函数既是奇函数，又是减函数．
在①中：f（x）=$\frac{1}{x}$是奇函数，但不是其定义域内的减函数，故①不是“理想函数”；
在②中：f（x）=x²是偶函数，且不是其定义域内的减函数，故②不是“理想函数”；
在③中：f（x）=x³是奇函数，是其定义域内的增函数，故③不是“理想函数”；
在④中：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}}&{x≥0}\\{{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}$是奇函数，又是其定义域内的减函数，故④不是“理想函数”．
故答案为：④．

点评 本题考查“理想函数”的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意“理想函数”的性质的合理运用．