Question

（本小题满分12分）如图，已知平面平行于三棱锥的底面，等边三角形所在平面与面垂直，且，设。
（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；
（Ⅱ）求点与平面的距离；
（Ⅲ）求二面角的大小。

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ)   （Ⅲ）

法一：


（Ⅰ）证明：∵平面∥平面
∴∥∵∴
又∵平面平面，平面平面
∴平面∴
又∵
∴为与的公垂线。
（Ⅱ）过作于，
∵为正三角形，
∴为中点，
∵平面
∴
又∵
∴平面
∴线段的长即为到平面的距离
在等边三角形中，
∴点到平面的距离为。
（Ⅲ）过作于，连结
由三垂线定理知
∴是二面角的平面角
在中，，～，
∴，∴
所以，二面角的大小为。
法二：取中点，连结，易知平面，
过作直线∥交于
取为空间直角坐标系的原点，、、所在直线分别为如图建立空间直角坐标系，则

（Ⅰ）
∴
∴，∴，
又∵∥，由已知，∥
∴，
即为与的公垂线。
（Ⅱ）设是平面的一个法向量，又，
则，即，令，则
∴设所求距离为，
∴点到平面的距离为。
（Ⅲ）设平面的一个法向量为，又
则则令，则
即，设二面角为，

又二面角为锐角
二面角的大小为。