Question

已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线上是否存在点P，使得是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）椭圆的方程为.（2）存在符合题意的点.

试题分析：（1）由题意得                      2分
解得
（2）讨论当直线的斜率为0时，不存在符合题意的点； 
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为,
代入，整理得,
设，，应用韦达定理得到，,
设存在符合题意的点，
从而弦长
,
设线段的中点，则，
所以,
根据是正三角形，得到，且,                   
由得,
得到,
由得关于的方程，
解得..
（1）由题意得                      2分
解得                          4分
所以椭圆的方程为.                5分
（2）当直线的斜率为0时，不存在符合题意的点；        6分
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为,
代入，整理得,
设，，则，,
设存在符合题意的点，
则

,              8分
设线段的中点，则，
所以,
因为是正三角形，所以，且,       9分
由得即，所以,
所以,     10分
由得，
解得，所以.                    12分
由得,
所以,
所以存在符合题意的点.                  14分