Question

在△ABC中，边AB为最大边，且，则cosA•cosB的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用积化和差公式可求得cos（A-B）-cos（A+B）=，再由题意可求-＜cos（A-B）≤1，由cosAcosB=[cos（A-B）-cos（A+B）]+cos（A-B）即可求得cosA•cosB的最大值．
解答：解：∵sinAsinB=-[cos（A-B）-cos（A+B）]=，
∴cos（A-B）-cos（A+B）=
∵在三角形ABC中，AB最长，故角C最大，
∴C＞，0＜A+B＜，-＜A-B＜，
∴-＜cos（A-B）≤1，
∴cosAcosB=[cos（A+B）+cos（A-B）]
=[cos（A-B）-cos（A+B）]+cos（A-B）
=+cos（A-B）≤+1=（当且仅当A=B时取等号）．
故答案为：．
点评：本题考查解三角形，考查积化和差公式与三角函数单调性与最值的综合应用，考查等价转化思想与综合应用的能力，求得-＜cos（A-B）≤1是关键，属于难题．