Question

如图，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°。

   （Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；

   （Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值；

   （Ⅲ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）见解析

       （Ⅱ）

       （Ⅲ）见解析

解析:

连接BD交AC于O，则BD⊥AC，

连接A₁O

在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°

∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁·Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥

平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A₁（0，0，）

……………………2分

（Ⅰ）由于

则

∴BD⊥AA₁……………………4分

  （Ⅱ）由于OB⊥平面AA₁C₁C

∴平面AA₁C₁C的法向量

设⊥平面AA₁D

则

得到……………………6分

所以二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）假设在直线CC₁上存在点P，使BP//平面DA₁C₁

设

则

得……………………9分

设

则设

得到……………………10分

又因为平面DA₁C₁

则·

即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP……………………12分

法二：在A₁作A₁O⊥AC于点O，由于平面AA₁C_??1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………4分

（Ⅱ）在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°

∴AO=AA₁·cos60°=1

所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以

O也是BD中点

由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA₁C

过O作OE⊥AA₁于E点，连接OE，则AA₁⊥DE

则∠DEO为二面角D—AA₁—C的平面角

……………………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2

∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=

DE=

∴cos∠DEO=

∴二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）存在这样的点P

连接B₁C，因为A₁B₁AB_DC

∴四边形A₁B₁CD为平行四边形。

∴A₁D//B₁C

在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP……………………10分

因B_??1??BCC₁，……………………12分

∴BB₁CP

∴四边形BB₁CP为平行四边形

则BP//B₁C

∴BP//A₁D

∴BP//平面DA₁C₁