Question

已知函数f（x）=-cos²x-sinx+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f(α)=

5

16

，求cos2α的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的平方关系把函数化简为f（x）=(sinx-

1

2

)2-

1

4

，根据sinx∈[-1，1]，求函数的最小值；
（II）根据f(α)=

5

16

，可求得sinα=-

1

4

，利用cos2α=1-2sin²α，可求cos2α．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=-cos²x-sinx+1=sin²x-sinx=(sinx-

1

2

)2-

1

4

，
又sinx∈[-1，1]，所以当sinx=

1

2

时，函数f（x）的最小值为-

1

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得(sinα-

1

2

)2-

1

4

=

5

16

，
所以(sinα-

1

2

)2=

9

16

．
于是sinα=

5

4

（舍）或sinα=-

1

4

．
又cos2α=1-2sin2α=1-2(-

1

4

)2=

7

8

．

点评：本题考查了三角函数型复合函数求最值，考查了2倍角的余弦公式及正弦函数的值域，考查了学生的运算能力．