题目内容

已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，其图象经过点M（ $数学公式$ ，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若tanα=3，且函数g（x）=f（x+α）+f（x+α- $数学公式$ ）（x∈R）的图象关于直线x=x₀对称，求tanx₀的值．

解：（1）∵函f（x）的最大值是2，
∴A=2，又函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象经过点M（ $\text{[math]}$ ，1），
∴2sin（ $\text{[math]}$ ）=1，
即sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∵0＜φ＜π，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=2sin（x+ $\text{[math]}$ ）=2cosx…（5分）
（2）g（x）=f（x+α）+f（x+α- $\text{[math]}$ ）
=2cos（x+α）+2cos（x+α- $\text{[math]}$ ）
=2cos（x+α）+2sin（x+α）
=2 $\text{[math]}$ sin（x+α+ $\text{[math]}$ ），
∵其图象关于直x=x₀对称，
∴sin（x₀+α+ $\text{[math]}$ ）=±1，
∴x₀+α+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），即 x₀=kπ-α+ $\text{[math]}$ ，（k∈Z），
又∵tanα=3，
∴tanx₀=tan（kπ-α+ $\text{[math]}$ ）=tan（ $\text{[math]}$ -α）= $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）根据最大值为2，确定A=2，根据过M，求出φ，进而确定f（x）的解析式．
（2）写出g（x）的解析式，根据其图象关于直线x=x₀对称，求出x₀，进而求出tanx₀即可．
点评：本题考查了由三角函数图象确定函数解析式以及性质，是基础题．