Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），若x∈[-2，0]，则f（x）=x+2，下面是关于f（x）的判断：
①f（x）关于点P（1，1）对称；    
 ②f（x）在[0，1]上是增函数；
③f(

2

)=f(8-

2

)；         
④f（x）满足f（x+2）=f（4-x）；
⑤f（x）满足f（x+3）=f（x-5）．
其中正确的判断是

①③⑤

（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析：利用函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性分别分析5个选项，由此能够求出正确结果．

解答：解：①∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），
∴f（-x）=f（x），f（2+x）=-f（-x），
且f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）关于点（1，1）对称，故①正确；
②∵x∈[-2，0]，则f（x）=x+2是增函数，
∴x∈[0，2]，则f（x）=x+2是减函数，故②错误；
③∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f(

2

)=f(8-

2

)，故③正确；
④∵f（x）满足f（x+2）=-f（x），f（4-x）=f（x），
∴④错误；
⑤∵f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）满足f（x+3）=f（x-5）．故⑤正确．
故答案为：①③⑤．

点评：本题考查函数的对称性，函数的单调性，函数奇偶性的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．