Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-5，-4]上是减函数，若A、B是锐角三角形的两个内角，则（　　）

A．f（sinA）＞f（sinB）

B．f（cosA）＜f（cosB）

C．f（sinB）＜f（cosA）

D．f（sinA）＞f（cosB）

Answer 1

分析：首先根据A、B是锐角三角形的两个内角，结合y=cosx在区间（0，

π

2

）上是减函数，证出sinA＞cosB．然后根据偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），可得函数f（x）是周期为2的函数，且f（x）在[0，1]上是增函数．最后根据f（x）在[0，1]上是增函数，结合锐角三角形中sinA＞cosB，得到f（sinA）＞f（cosB）．

解答：解：∵A、B是锐角三角形的两个内角
∴A+B＞

π

2

，可得A＞

π

2

-B，
∵y=cosx在区间（0，

π

2

）上是减函数，

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，
∴sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即锐角三角形的两个内角A、B是满足sinA＞cosB，
∵函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），可得函数f（x）是周期为2的函数．
∵f（x）在[-5，-4]上是减函数，
∴f（x）在[-1，0]上也是减函数，
再结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）在[0，1]上是增函数．
∵锐角三角形的两个内角A、B是满足sinA＞cosB，且sinB、cosA∈[0，1]
∴f（sinA）＞f（cosB）．
故选D

点评：本题以函数的单调性与奇偶性为例，考查了锐角三角形的性质、函数的定义域与简单性质等知识点，属于中档题．