Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在，使得，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增;(2) .

【解析】试题分析：(1)先求函数导数（较复杂），再对导函数求导（恒正），从而导函数单调递增，而导函数有一零点 ，所以导函数符号变化规律可定，最后根据导函数符号确定单调性，(2) 原题意等价于，而由（1）可得函数最小值为，最大值为,从而本题关键判断大小，构造差函数,利用导数研究函数单调性，根据差函数的导函数单调递增，且，可分类讨论大小关系，最后解出的取值范围.

试题解析：(1),设,则，所以在上单调递增，又因为，故有唯一解，所以的变化情况如下表所示:

	递减	极小值	递增

所以在上单调递减，在上单调递增.

(2) 因为存在，使得,所以当时，.由（1）知，在上递减，在上递增，所以当时， ,而

,记,

因为(当时取等号), 所以在上单调递增.而，故当时，；当时，. ①当时，由，得，得； ②当时，由，得，得， 综上可知，所求取值范围为.