Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（ⅰ）记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列；
（ⅱ）若数列{

an

n

}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a₁应满足的条件．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b_n+6=b_n，然后求出c_n+1-c_n为定值，便可证明数列{c_n}为等差数列；
（ⅱ）数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当ai=

7i

6

时和当ai≠

7i

6

时，数列{

an

n

}是否满足题中条件，便可求出a₁应满足的条件．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，
有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1（2分）
=1+

(n-1)×n

2

=

n2

2

-

n

2

+1．（3分）
又因为a₁=1也满足上式，
所以数列{a_n}的通项为an=

n2

2

-

n

2

+1．（4分）
（Ⅱ）由题设知：b_n＞0，对任意的n∈N^*有b_n+2b_n=b_n+1，b_n+1b_n+3=b_n+2得b_n+3b_n=1，
于是又b_n+3b_n+6=1，故b_n+6=b_n（5分）
∴b_6n-5=b₁=1，b_6n-4=b₂=2，b_6n-3=b₃=2，b_6n-2=b₄=1，b6n-1=b5=

1

2

，b6n=

1

2

（ⅰ）c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4=1+2+2+1+

1

2

+

1

2

=7（n≥1），
所以数列{c_n}为等差数列．（7分）
（ⅱ）设d_n=a_6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以d_n+1-d_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5=7（n≥0）
所以数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列．（9分）
设fk=

a6k+i

6k+i

=

ai+7k

i+6k

=

7 6 (i+6k)+ai- 7i 6

i+6k

=

7

6

+

ai- 7i 6

i+6k

，
（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当ai=

7i

6

时，对任意的n=6k+i有

an

n

=

7

6

；（10分）
由ai=

7i

6

，i∈{1，2，3，4，5，6}知a1=

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

，

1

2

；
此时

7

6

重复出现无数次．
当ai≠

7i

6

时，fk+1-fk=

ai- 7i 6

6(k+1)+i

-

ai- 7i 6

6k+i

=(ai-

7i

6

)(

1

6(k+1)+i

-

1

6k+i

)=(ai-

7i

6

)(

-6

[6(k+1)+i](6k+i)

)
①若ai＞

7i

6

，则对任意的k∈N有f_k+1＜f_k，所以数列{

a6k+i

6k+i

}为单调减数列；
②若ai＜

7i

6

，则对任意的k∈N有f_k+1＞f_k，所以数列{

a6k+i

6k+i

}为单调增数列；
（12分）{

a6k+i

6k+i

}（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，
即数列{

an

n

}中任意一项的值最多出现六次．
综上所述：当a1∈{

7

6

，

4

3

，

1

2

，-

1

3

，-

1

6

}=B时，数列{

an

n

}中必有某数重复出现无数次．
当a₁∉B时，数列{

an

n

}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．（14分）

点评：本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．