题目内容
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＞π），在同一周期内，当x=
时，f（x）取得最大值3；当x=
π时，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若x∈[-
，
]时，函数h（x）=2f（x）+1-m有两个零点，求实数m的取值范围．
| π |
| 12 |
| 7 |
| 12 |
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
分析：（Ⅰ）由题意可得A=3，根据周期T=2（
-
）=
，求得ω=2．由2×
+φ=2kπ+
，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ的值，从而求得函数的解析式．
（Ⅱ）由 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）函数y=sin（2x+
）的图象和直线y=
在[-
，
]上有2个交点，再由 2x+
∈[-
，
]，y=sin（2x+
）的图象可得
∈[
，1），由此求得实数m的取值范围．
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 2π |
| ω |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）由 2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
（Ⅲ）函数y=sin（2x+
| π |
| 3 |
| m-1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| m-1 |
| 6 |
| ||
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）由题意可得A=3，周期T=2（
-
）=
，∴ω=2．
由2×
+φ=2kπ+
，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ=
，故函数f（x）=3sin（2x+
）．
（Ⅱ）由 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得kπ+
≤x≤kπ+
，
故函数的减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈z．
（Ⅲ）∵x∈[-
，
]时，函数h（x）=2f（x）+1-m有两个零点，故 sin（2x+
）=
有2个实数根．
即函数y=sin（2x+
）的图象和直线y=
有2个交点．
再由 2x+
∈[-
，
]，结合函数y=sin（2x+
）的图象可得
∈[
，1），解得 m∈[3
+1，7），
即 实数m的取值范围是[3
+1，7）．
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 2π |
| ω |
由2×
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由 2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
故函数的减区间为[kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（Ⅲ）∵x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| m-1 |
| 6 |
即函数y=sin（2x+
| π |
| 3 |
| m-1 |
| 6 |
再由 2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| m-1 |
| 6 |
| ||
| 2 |
| 3 |
即 实数m的取值范围是[3
| 3 |
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目