Question

20．下列四个命题：
①定义在R上的函数f（x）满足f（-2）=f（2），则f（x）不是奇函数
②定义在R上的函数f（x）恒满足f（-x）=|f（x）|，则f（x）一定是偶函数
③一个函数的解析式为y=x²，它的值域为{0，1，4}，这样的不同函数共有9个
④设函数f（x）=lnx，则对于定义域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，
其中为真命题的序号有②③④（填上所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 ①②利用函数的奇偶性判定；③函数的解析式为y=x²，它的值域为{0，1，4}，则x必有0，±1至少有一个，±2至少有一个；④根据函数f（x）=lnx的单调性判定．

解答 解：对于①，定义在R上的函数f（x）可以满足f（-2）=f（2）=0，故错；
对于②，由f（-x）=|f（x）|≥0得f（-x）≥0对于任意x成立，则x取-x也成立即f（x）≥0，则f（-x）=f（x），∴f（x）一定是偶函数，该命题是真命题满足偶函数的定义，故正确；
对于③，一个函数的解析式为y=x²，它的值域为{0，1，4}，则x必有0，±1至少有一个，±2至少有一个，这样的不同函数共有9个，故正确；
对于④，函数f（x）=lnx是定义域内的增函数，根据增函数定义，则对于定义域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，故正确
故答案为：②③④

点评 本题考查了函数的奇偶性、定义域、值域、单调性，属于中档题