Question

已知椭圆C中心在原点，一个焦点为F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在斜率为的直线l，使直线l与椭圆C有公共点，且原点O与直线l的距离等于4；若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知c=2，且，a²=b²+c²，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在斜率为的直线方程y=，联立，得3x²+3mx+m²-12=0，由题设条件利用根的判别式和点到直线的距离公式能推导出直线l不存在．
解答：解：（1）∵椭圆C中心在原点，一个焦点为F（-2，0），
且长轴长与短轴长的比是，
∴c=2，且，a²=b²+c²，
∴，解得b²=12，∴a²=16，
∴椭圆C的方程为．
（2）假设存在斜率为的直线l，使直线l与椭圆C有公共点，且原点O与直线l的距离等于4，
设l的方程为y=，
联立，消去y并整理，得3x²+3mx+m²-12=0，
∵直线l与椭圆C有公共点，
∴△=9m²-12（m²-12）≥0，
解得-44，
∵原点O与直线l的距离等于4，
∴d=，∴m=∉[]，
∴假设不成立，故直线l不存在．
点评：本题考查椭圆方程的求法，判断满足条件的直线是否存在，具体涉及到椭圆的简单性质、点到直线的距离公式、韦达定理等知识点，解题时要注意等价转化思想的合理运用．