Question

设函数f(x)=ax³－2bx²+cx+4d(a, b, c, d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值－，

（1）求a，b，c，d的值。

（2）当x∈[－1，1]时，f(x)图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论。

（3）若x₁，x₂∈[－1，1]时，求证|f(x₁)－f(x₂)|≤.

Answer 1

解：（1）∵函数f(x)=ax³－2bx²+cx+4d（a,b,c,d∈R）的图象关于原点对称

∴f(x)为奇函数，

ax³－2bx²+cx+4d=ax³+2bx²+cx－4恒成立

∴b=0，d=0

∵x=1时，f(x)取极小值－

∴(1)=0，f(1)= －

∴3a+c=0，a+c=－

∴a=，c=－1

∴a=，b=0，c=－1，d=0

   （2）由（1）有

        当x∈[－1，1]时，－1≤x²－1≤0，因而对x₁，x₂∈[－1，1]时，

        (x₁) (x₂)≥0

        ∴当x∈[－1，1]时，f(x)图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直

   （3）由（2）有函数f(x)在[－1，1]上是减函数