Question

【题目】已知函数，（其中为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，函数有最小值，求函数的值域.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增;（2）.

【解析】

（1）求出导数，分成，两种情况求导数为零的根，从而可探究出函数和导数随自变量的变化情况.

（2）求出，通过导数求出的单调性，结合零点存在定理得出存在，使得，即，从而得出的单调性，进而求出的解析式，再利用的单调性，从而可求其值域.

（1）解：，令，当时，恒成立，此时单调递增；

当时，解得，，则随的变化如下表，

则在上递减，在上递增.

综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）因为，，则，

则 ，设，

则，则在上单调递增.

对于，因为，，因此存在，

使得，即，故

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.则

即，则，由，

可知，单调递增.由得，.

所以的值域为.