题目内容

已知数列a_n满足 $数学公式$ ，当n=________时， $数学公式$ 取得最小值．

3
分析：先由数列的递推关系式求得a_n= $\text{[math]}$ +n²-n，再代入 $\text{[math]}$ 利用基本不等式求得其最小值即可．（注意n为正整数）．
解答：因为 $\text{[math]}$ ，
所以a_n=a_n-1+2（n-1）
=a_n-2+2（n-2）+2（n-1）
=a_n-3+2（n-3）+2（n-2）+2（n-1）
=…
=a₁+2×1+2×2+…+2（n-1）
= $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ +n²-n．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +n-1≥2 $\text{[math]}$ -1，当 $\text{[math]}$ =n时取最小值，此时?n²= $\text{[math]}$ ，
又因为n∈N，故取n=3．
故答案为：3．
点评：解决本题的关键在于由数列的递推关系式求得a_n= $\text{[math]}$ +n²-n，对与本题求数列的通项公式也可以用叠加法．

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