Question

已知数列a_n满足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），（1）若，求a_n；
（2）是否存在a₁，n（a₁∈R，n∈N^*），使当n≥n（n∈N^*）时，a_n恒为常数．若存在求a₁，n，否则说明理由；
（3）若a₁=a∈（k，k+1），（k∈N^*），求a_n的前3k项的和S_3k（用k，a表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）由数列a_n满足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），，我们分别求出a₂，a₃，a₄的值，分析变化的周期性规则，即可得到a_n的表达式；
（2）我们分a_n≥1时，0＜a₁＜1时，a₁=b≥1时和a₁=c＜0时，几种情况，分别进行讨论，最后将讨论结论综合，即可得到结论；
（3）当a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）时，易知a₂=a-1，a₃=a-2，…，a_k=a-（k-1），利用拆项法，即可得到答案．
解答：解：（1），
∴时，
，其中k∈N^*
（2）因为存在，
所以当a_n≥1时，a_n+1≠a_n
①若0＜a₁＜1，则a₂=1-a₁，a₃=1-a₂=a₁，此时只需：a₂=1-a₁=a₁，∴
故存在
②若a₁=b≥1，不妨设b∈[m，m+1），m∈N^*，易知a_m+1=b-m∈[0，1），
∴a_m+2=1-a_m+1=1-（b-m）=a_m+1=b-m
∴，∴时，
③若a₁=c＜0，不妨设c∈（-l，-l+1），l∈N^*，易知a₂=-c+1∈（l，l+1]，
∴a₃=a₂-1=-c，，a_l+2=-c-（l-1）∈（0，1]
∴，∴，则
故存在三组a₁和n：时，n=1；时，n=m+1；时，n=m+2其中m∈N^*
（3）当a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）时，
易知a₂=a-1，a₃=a-2，，a_k=a-（k-1），
a_k+1=a-k∈（0，1）a_k+2=1-a_k+1=k+1-a，
a_k+3=1-a_k+2=a-k，a_k+4=1-a_k+3=k+1-a，
a_3k-1=a-k，a_3k=k+1-a
∴S_3k=a₁+a₂++a_k+a_k+1+a_k+2+a_k+3+a_k+4++a_3k-1+a_3k=a+（a-1）+（a-2）++a-（k-1）+k
点评：本题考查的知识点是数列递推公式及数列求和，其中正确理解数列的递推公式，并能准确的对a进行分类讨论，是解答本题的关键．