题目内容

设函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（1）当x∈[
π
24
，
7π
24
]，求函数f（x）的值域；
（2）若f（
θ
2
）=
6
5
，θ∈（0，π），求cos2θ的值．
分析：（1）利用二倍角三角函数公式，结合辅助角公式化简整理得f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1，再讨论得出2x+
π
4
∈[
π
3
，
5π
6
]，结合三角函数的图象与性质即可得到函数f（x）的值域；
（2）代入（1）中的表达式，由f（
θ
2
）=
6
5
得sin（θ+
π
4
）=
2
10
，结合θ∈（0，π）算出cos（θ+
π
4
）=
7
2
10
，再利用配角得到cosθ=cos[（θ+
π
4
）-
π
4
]=
4
5
，最后利用二倍角余弦公式即可得到cos2θ的值．
解答：解：∵sinxcosx=
1
2
sin2x，cos2x=
1
2
（1+cos2x）
∴f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1．
由此可得f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1
（1）∵x∈[
π
24
，
7π
24
]，∴2x+
π
4
∈[
π
3
，
5π
6
]
由此可得，当2x+
π
4
=
π
2
，即x=
π
8
时函数的最大值为1+
2

当2x+
π
4
=
5π
6
，即x=
7π
24
时函数的最小值为1+
2
2
=
3
2
．
∴当x∈[
π
24
，
7π
24
]，函数f（x）的值域为[1+
2
2
，1+
2
]
（2）由f（
θ
2
）=
2
sin（θ+
π
4
）+1=
6
5
，得sin（θ+
π
4
）=
2
10

∵θ∈（0，π），得θ+
π
4
∈（
π
4
，
5π
4
）
∴结合sin（θ+
π
4
）=
2
10
＜
1
2
且为正数，得θ+
π
4
∈（
5π
6
，π）
因此cos（θ+
π
4
）=
1-sin2(θ+
π
4
)
=
7
2
10

∴cosθ=cos[（θ+
π
4
）-
π
4
]=
7
2
10
×
2
2
+
2
10
×
2
2
=
4
5

可得cos2θ=2cos2θ-1=2×
16
25
-1=
7
25
．
点评：本题给出三角函数表达式，求函数值域并求三角函数值，着重考查了三角恒等变形、三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=
1
3
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A、±1
B、
2
C、±
3
D、2
（2012•黄州区模拟）已知向量
m
=（cos
x
2
，-1），
n
=（
3
sin
x
2
，cos2
x
2
），设函数f（x）=
m
•
n
+1．
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π
2
]，f（x）=
11
10
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3
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π
2
x-
π
3
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A、4
B、2
C、1
D、
1
2
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