Question

（2013•丰台区二模）已知函数 f(x)=2lnx+

1

2

ax2-(2a+1)x (a∈R)．
（Ⅰ）当a=-

1

2

时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=-

1

2

时，可求得f′（x），令f′（x）=0，可求得极值点，将x的取值情况，f′（x）正负情况及f（x）的增减情况列表，可求得函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由于2-

1

a

=

2a-1

a

，对0＜a＜

1

2

，a=

1

2

及a＞

1

2

时分类讨论，根据f′（x）的正负情况即可得到函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}，…．（1分）
当a=-

1

2

时，f′（x）=-

(x+2)(x-2)

2x

，…．（2分）
令f′（x）=0，在[1，e]上得极值点x=2，

x	[1，2）	2	（2，e]
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	2ln2-1	减

…．（4分）
∵f（1）=-

1

4

，f（e）=2-

e2

4

，…．（5分）
f（1）＜f（e），
∴f（x）_max=f（2）=2ln2-1，f（x）_min=f（1）=-

1

4

．…．（7分）
（Ⅱ）f′（x）=

(x-2)(ax-1)

x

，…．（8分）
①0＜a＜

1

2

时，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞

1

a

，
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（

1

a

，+∞），
由f′（x）＜0得2＜x＜

1

a

，
所以f（x）的单调减区间是（2，

1

a

）；     …．（10分）
②a=

1

2

时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，且当且仅当f′（2）=0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；                         …．（11分）
③当a＞

1

2

时，由f′（x）＞0得0＜x＜

1

a

或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（0，

1

a

），（2，+∞），
由f′（x）＜0得

1

a

＜x＜2，
所以f（x）的单调减区间是（

1

a

，2）．…．（13分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与分析推理能力，属于难题．