题目内容

已知函数f（x）=3ax²+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，
（1）证明： $数学公式$ ；
（2）证明：函数f（x）在（0，1）内有两个零点．

证明：（1）∵f（0）＞0，∴c＞0，
又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式，
∴3a-2a-2c+c＞0，即a-c＞0，∴a＞c．
∴a＞c＞0．又∵a+b=-c＜0，∴a+b＜0．
∴1+ $\text{[math]}$ ＜0，∴ $\text{[math]}$ ＜-1．
又c=-a-b，代入①式得，
3a+2b-a-b＞0，∴2a+b＞0，
∴2+ $\text{[math]}$ ＞0，∴ $\text{[math]}$ ＞-2．故-2＜ $\text{[math]}$ ＜-1．
（2）由（1）中-2＜ $\text{[math]}$ ＜-1，
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
即函数f（x）=3ax²+2bx+c图象的对称轴x= $\text{[math]}$ 在区间（0，1）上
又∵f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＜0
故函数f（x）在（0， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，1）内各有一个零点
故函数f（x）在（0，1）内有两个零点
分析：（1）先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和 $\text{[math]}$ 的范围即可．
（2）由（1）中结论，我们可以判断函数的对称轴在区间（0，1）之间，而且能判断出顶点纵坐标小于0，进而根据零点存在定理得到答案．
点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．