Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）若a、b∈D，求证：．

Answer 1

解：（1）由题意得：＞0，∴-1＜x＜1，∴函数的定义域为：（-1，1）；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=lg=-lg=-f（x），∴函数是奇函数；
（3）若a、b∈D，f（a）+f（b）=lg+lg=lg，
f（）=lg=lg，∴f（a）+f（b）=f（）．
分析：（1）对数的真数大于0，用穿根法解分式不等式．
（2）由（1）知定义域关于原点对称，考查f（-x）与f（x）的关系，依据定义判断．
（3）若a、b∈D，先化简f（a）+f（b），再化简f（）的解析式，然后作比较发现是相等的式子．
点评：本题考查函数的定义域的求法，利用定义判断函数的奇偶性，以及利用对数的运算性质证明等式．