题目内容

已知f（x）为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时，f（x）=1- $数学公式$ ，
（1）求函数f（x）的解析式，
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性并用定义证明．

解：（1）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=1+ $\text{[math]}$ ，又∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（x）=-1- $\text{[math]}$
∴f（x）= $\text{[math]}$
（2）f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
证明：任取0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=1- $\text{[math]}$ -1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
分析：（1）只需求x＜0时函数f（x）的解析式即可，利用奇函数的定义和已知x＞0时，f（x）的解析式即可求得分段函数f（x）在定义域上的解析式；
（2）利用函数单调性的定义，任取0＜x₁＜x₂，利用作差法，证明f（x₁）-f（x₂）＜0，即可证明函数f（x）在（0，+∞）的单调性
点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的方法，利用函数单调性的定义证明函数的单调性的方法，简单复合函数单调性的判断，代数变形和逻辑推理能力

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已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（　　）

A、f（2）＞e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）

B、f（2）＜e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）

C、f（2）＞e²f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰f（0）

D、f（2）＜e²f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰f（0）

已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（2013）+f（-2014）的值为

已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=

．
（1）证明函数f（x）在（0，1）是增函数
（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式．

给出下列命题：
①f(x)=

既是奇函数，又是偶函数；
②f（x）=x和f(x)=

为同一函数；
③已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
④函数y=

]．
其中正确命题的序号是

已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，有（　　）

A、f（x）=-x（1+x）

B、f（x）=-x（1-x）

C、f（x）=x（1-x）

D、f（x）=x（x-1）