Question

7．过抛物线：y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{21}}{3}$
• B． $\sqrt{13}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，把A的坐标用p表示，代入双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，结合a²+b²=c²求得双曲线的离心率．

解答 解：如图，

设A（x₀，y₀），则|AF|=2（${x}_{0}-\frac{p}{2}$），
又|AF|=${x}_{0}+\frac{p}{2}$，∴$2（{x}_{0}-\frac{p}{2}）={x}_{0}+\frac{p}{2}$，解得${x}_{0}=\frac{3}{2}p$，
${y}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}|AF|=\frac{\sqrt{3}}{2}2P=\sqrt{3}P$，
∵A（$\frac{3}{2}p，\sqrt{3}p$）在双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，
∴$\sqrt{3}p=\frac{b}{a}•\frac{3}{2}p$，解得：${b}^{2}=\frac{4}{3}{a}^{2}$，
由a²+b²=c²，得${a}^{2}+\frac{4}{3}{a}^{2}={c}^{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{7}{3}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线与双曲线的几何性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．