Question

设函数f（x）=ax+，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，求其对称中心的坐标；
（3）设直线l是过曲线y=f（x）上一点P（x，y）的切线，求直线l与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根据求导公式和法则求出导数，再结合条件和导数的几何意义，列出方程组进行求解，利用条件进行取舍；
（Ⅱ）由函数y₁=x，y2=都是奇函数，可得它们的和函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．再由图象平移法则，得到函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）先在曲线上任取一点（x0，x0+），利用导数的几何意义和点斜式求出过此点的切线方程，令x=1得切线与直线x=1交点，令y=x得切线与直线y=x交点．再由利用三角形的面积公式求得所围三角形的面积为定值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=a-，
∵在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，
∴，解得或，
∵a、b∈Z，∴，
则f（x）=x+，
（Ⅱ）证明：由函数y₁=x，y2=都是奇函数得，函数g（x）=x+也是奇函数，
则g（x）的图象是以原点为中心的中心对称图形，
∵f（x）=x+=x-1++1，
∴将函数g（x）的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，
∴函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点（x0，x0+），则由（I）得，，
∴过此点的切线方程为：y-（x0+）=（）（x-x0），
令x=1得y=，切线与直线x=1交点为（1，），
令y=x得y=2x-1，切线与直线y=x交点为（2x-1，2x-1）．
∵直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
∴所围三角形的面积为|2x-1-1|=||2x0-2|=2，
故所围三角形的面积为定值2．
点评：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．