Question

设等差数列{a_n}的前n项和为Sn，首项为25，且S₉=S₁₇，
求：（1）求公差d  
（2）数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}前多少项和最大，并求其最大值．

Answer 1

分析：（1）设出公差为d利用等差数列的前n项和公式代入s₉=s₁₇化简即可．
（2）由（1）利用等差数列的通项公式代入计算即可．
（3）可分析等差数列{a_n}哪些项是正项哪些项是0哪些项时负项因此正项或正项加0项才最大因此可令a_n≥0得出n的范围即可．

解答：解：设公差为d
∵等差数列{a_n}的首项为25，且s₉=s₁₇
∴9a₁+

1

2

×9×8×d=17a1+

1

2

×17×16×d
∴d=-2
（2）由（1）可知a₁=25，d=-2
∴a_n=a₁+（n-1）d=27-2n
（3）令a_n≥0，，
∴27-2n≥0
∴n≤

27

2

∴数列{a_n}的前13项均为正从第14项开始全为负．
∴(sn)max=s13=13×25+

1

2

×13×12×（-2）=169
 即数列{a_n}的前13项和最大且最大值为169

点评：本题主要考查了利用等差数列的性质求等差数列的公差，通项，数列的前n项和的最大值．前两问较简单只需知道等差数列的前n项和公式即可．而第三问要利用等差数列的性质（利用a_n≥0可得出数列{a_n}的前13项均为正从第14项开始全为负）即可求解，这一技巧在等差数列的求解中要引起注意！