Question

（本小题满分14分） 

已知函数，其中，其中。

（I）求函数的零点；

（II）讨论在区间上的单调性；

（III）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）－a.

（II）在区间上是增函数，

在区间是减函数。

（III）

【解析】（I）解，得所以函数的零点为－a.………………2分

（II）函数在区域（－∞，0）上有意义，，…………5分

令

因为                                                      …………7分

当x在定义域上变化时，的变化情况如下：

	（）
	+	-

所以在区间上是增函数，                   …………8分

在区间是减函数。                               …………9分

（III）在区间上存在最小值                     …………10分

证明：由（I）知-a是函数的零点，

因为

所以。                                                                        …………11分

由知，当时，。                       …………12分

又函数在上是减函数，

且。

所以函数在区间上的最小值为

且。                                                                            …………13分

所以函数在区间上的最小值为，

计算得。                                …………14分