Question

设函数f(x)=

ax

1+ax

(a＞0，且a≠1)，若用m表示不超过实数m的最大整数，则函数[f(x)-

1

2

]+[f(-x)-

1

2

]的值域为

 

．

Answer 1

分析：把所求的式子代入整理可得，[f(x)-

1

2

]+[f(-x)-

1

2

]=[ 

1

2

-

1

1+ax

 ]+[

1

1+ax

-

1

2

 ]由指数函数的性质可得，a^x＞0，0＜

1

1+ax

＜1分①0＜

1

1+ax

＜

1

2

②

1

2

＜

1

1+ax

＜1③

1

1+ax

=

1

2

三种情况讨论求解

解答：解：∵f(x)  =

ax

1+ax

=1-

1

1+ax

∴[f(x)-

1

2

]+[f(-x)-

1

2

]=[ 

1

2

-

1

1+ax

 ]+[

1

1+ax

-

1

2

 ]
∵a^x＞0∴0＜

1

1+ax

＜1
当0＜

1

1+ax

＜

1

2

时，[

1

1+ax

-

1

2

]=-1，[

1

2

-

1

1+ax

]=0，原式为-1
当

1

2

＜

1

1+ax

＜1时，[

1

1+ax

-

1

2

 ]=0，[ 

1

2

-

1

1+ax

]=-1，原式为-1
当

1

1+ax

=

1

2

时，时，.[

1

2

-

1

1+ax

]=0，[

1

2

-

1

1+ax

]=0，原式为0
故答案为：{-1，0}

点评：本题主要考查了利用题目中的定义求解函数的值域，解题的关键是要根据指数函数的值域可得0＜

1

1+ax

＜1进一步判断

1

1+ax

与

1

2

的大小关系，从而确定式子的值．